前面的章节在可忽略性和重合度假设下, 研究 ${\displaystyle \tau =\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]}$. 我们可以把这个讨论延伸到实验组和对照组上: $$\begin{array}{rl}{\tau }_{\mathrm{T}}& =\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)|Z=1],\\ {\tau }_{\mathrm{C}}& =\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)|Z=0].\end{array}$$ 如果 ${\displaystyle {\tau }_{\mathrm{T}},{\tau }_{\mathrm{C}}}$ 与 ${\displaystyle \tau }$ 不同, 则平均因果效应在两个组上表现不同. 当然具体研究哪个取决于实际问题. 因为对称性, 本节只研究 ${\displaystyle {\tau }_{\mathrm{T}}}$.

1 ${\displaystyle {\displaystyle {\tau }_{\mathrm{T}}}}$ 的非参数表示

实验组的平均因果效应可以写为 $${\tau }_{\mathrm{T}}=\mathbb{E}[Y(1)|Z=1]-\mathbb{E}[Y(0)|Z=1],$$ 这里第一项可以从数据中直接看到, 但是 ${\displaystyle \mathbb{E}[Y(0)|Z=1]}$ 是虚构的. 我们需要给出如下假设:

这说明 ${\displaystyle {\tau }_{\mathrm{T}}}$ 非参数地等于 $${\tau }_{\mathrm{T}}=\mathbb{E}[Y|Z=1]-\mathbb{E}[\mathbb{E}(Y|Z=0,X)|Z=1].$$

• 如果 ${\displaystyle X}$ 是离散的, 定理的结果变为 $$\mathbb{E}[Y(0)|Z=1]=\sum _{k=1}^K\mathbb{E}[Y|Z=0,X=k]\mathbb{P}(X=k|Z=1),$$ 因此我们可以得出这样的分层估计量 $${\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}=\hat{\bar{Y}}(1)-\sum _{k=1}^K{\hat{\pi }}_{[k]|1}{\hat{\bar{Y}}}_{[k]}(0),$$ 这里 ${\displaystyle {\hat{\pi }}_{[k]|1}=\frac{n_{[k]1}}{n_1}}$ 是 ${\displaystyle k}$ 类别在实验组中的比例.
• 而如果 ${\displaystyle X}$ 是连续的, 我们要用对照单元拟合一个 ${\displaystyle \mathbb{E}[Y|Z=0,X]}$ 的结果模型. 如果对照的潜在结果的拟合值为 ${\displaystyle {\hat{\mu }}_0(X_i)}$, 则结果回归估计量为 $${\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{reg}}=\hat{\bar{Y}}(1)-\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^n{Z}_i{\hat{\mu }}_0(X_i)=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^n{Z}_i\{Y_i-{\hat{\mu }}_0(X_i)\}.$$

2 ${\displaystyle {\displaystyle {\tau }_{\mathrm{T}}}}$ 的 IPW 和双重稳健估计

我们还有两个 IPW 估计量 (回顾 这里) $$\begin{array}{rl}{\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{ht}}& =\hat{\bar{Y}}(1)-\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^n\hat{o}(X_i)(1-Z_i)Y_i,\\ {\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{hajek}}& =\hat{\bar{Y}}(1)-\frac{\sum _{i=1}^n\hat{o}(X_i)(1-Z_i)Y_i}{\sum _{i=1}^n\hat{o}(X_i)(1-Z_i)},\end{array}$$ 这里 ${\displaystyle \hat{o}(X_i)=\frac{\hat{e}(X_i)}{1-\hat{e}(X_i)}}$ 是给定协变量后接受实验处理的概率的拟合值.

我们还有一个 ${\displaystyle \mathbb{E}[Y(0)|Z=1]}$ 的双向稳健估计量, 包含了倾向得分和结果模型: $${\tilde{\mu }}_{0\mathrm{T}}^{\mathrm{dr}}=\frac{\mathbb{E}[o(X,\alpha )(1-Z)\{Y-{\mu }_0(X,{\beta }_0)\}+Z{\mu }_0(X,{\beta }_0)]}{e},$$ 这里 ${\displaystyle o(X,\alpha )=\frac{e(X,\alpha )}{1-e(X,\alpha )}}$.

基于 前面的总体版本, 我们可以为 ${\displaystyle {\tau }_{\mathrm{T}}}$ 构造一个双重稳健估计量 .

根据定义, 我们可以写出 $$e(X_i,\hat{\alpha })={\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{reg}}-\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^{n}o(X_i,\hat{\alpha })(1-Z_i)\{Y_i-{\mu }_0(X_i,{\hat{\beta }}_0)\}$$ 或者 $$e(X_i,\hat{\alpha })={\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{ht}}-\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^n\{o(X_i,\hat{\alpha })(1-Z_i)+Z_i\}{\mu }_0(X_i,{\hat{\beta }}_0).$$

3 其他被估计量

从条件平均因果效应 ${\displaystyle \tau (X)}$ 开始, 我们可以讨论观察性实验中的统一的待估计量形式. 记 $${\tau }^h=\frac{\mathbb{E}[h(X)\tau (X)]}{\mathbb{E}[h(X)]},$$ 这里 ${\displaystyle h(X)}$ 是权重函数, ${\displaystyle \mathbb{E}[h(X)]\ne 0}$. 标准化项 ${\displaystyle \mathbb{E}[h(X)]}$ 保证了平均值一致.
在可忽略性下, $${\tau }^h=\frac{\mathbb{E}[h(X)\{{\mu }_1(X)-{\mu }_0(X)\}]}{\mathbb{E}[h(X)]},$$ 这引导出结果回归估计量 $${\hat{\tau }}^h=\frac{\sum _{i=1}^{n}h(X_i)\{{\hat{\mu }}_1(X_i)-{\hat{\mu }}_0(X_i)\}}{\sum _{i=1}^{n}h(X_i)}.$$
此外, 我们可以说明 ${\displaystyle {\tau }^h}$ 有如下的权重形式 $${\tau }^h=\mathbb{E}[\frac{ZYh(X)}{e(X)}-\frac{(1-Z)Yh(X)}{1-e(X)}]/\mathbb{E}[h(X)].$$
从这里看出, 每一个单元都被联系了一个权重, 来自被估计量的定义和逆倾向得分带来的权重. 最后, 实验单元被乘以权重 ${\displaystyle \frac{h(X)}{e(X)}}$, 而对照单元 ${\displaystyle \frac{h(X)}{1-e(X)}}$. 下面是一些结果

这里 ${\displaystyle {\tau }_{\mathrm{O}}=\frac{\mathbb{E}[e(X)\{1-e(X)\}\tau (X)]}{\mathbb{E}[e(X)\{1-e(X)\}]}}$ 是新的, 它相比 ${\displaystyle e(X)}$ 接近 ${\displaystyle 0/1}$ 的 IPW, 更加稳定. 如果 ${\displaystyle e(X)\perp \perp \tau (X)}$, 则 ${\displaystyle {\tau }_{\mathrm{O}}\to \tau }$.
但是这里能看出它只对 ${\displaystyle e(X)=\frac{1}{2}}$ 的"摇摆不定的"人有最大的权重, 而对那些有极端倾向得分的人权重反而低. 它改变了初始的群体, 基于实际可能有错的倾向得分.